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2018中考数学必备:辅助线典型做法

2018-01-09 17:20:10 来源:网络中考资料下载

  辅助线是同学们在做中考数学几何题时必须要掌握的答题技巧,其实这其中有写规律是可循的。

  一、三角形中常见辅助线的添加

  1. 与角平分线有关的

  (1)可向两边作垂线。

  (2)可作平行线,构造等腰三角形

  (3)在角的两边截取相等的线段,构造全等三角形

  2. 与线段长度相关的

  (1)截长:证明某两条线段的和或差等于第三条线段时,经常在较长的线段上截取一段,使得它和其中的一条相等,再利用全等或相似证明余下的等于另一条线段即可

  (2)补短:证明某两条线段的和或差等于第三条线段时,也可以在较短的线段上延长一段,使得延长的部分等于另外一条较短的线段,再利用全等或相似证明延长后的线段等于那一条长线段即可

  (3)倍长中线:题目中如果出现了三角形的中线,方法是将中线延长一倍,再将端点连结,便可得到全等三角形。

  (4)遇到中点,考虑中位线或等腰等边中的三线合一。

  3. 与等腰等边三角形相关的

  (1)考虑三线合一

  (2)旋转一定的度数,构造全都三角形,等腰一般旋转顶角的度数,等边旋转60 °

  二、四边形中常见辅助线的添加

  特殊四边形主要包括平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形.在解决一些和四边形有关的问题时往往需 要添加辅助线。下面介绍一些辅助线的添加方法。

  1. 和平行四边形有关的辅助线作法

  平行四边形是最常见的特殊四边形之一,它有许多可以利用性质,为了利用这些性质往往需要添加辅助线构造平行四边形。

  (1)利用一组对边平行且相等构造平行四边形

  (2)利用两组对边平行构造平行四边形

  (3)利用对角线互相平分构造平行四边形

  2. 与矩形有辅助线作法

  (1)计算型题,一般通过作辅助线构造直角三角形借助勾股定理解决问题

  (2)证明或探索题,一般连结矩形的对角线借助对角线相等这一性质解决问题.和矩形有关的试题的辅助线的作法较少.

  3. 和菱形有关的辅助线的作法

  和菱形有关的辅助线的作法主要是连接菱形的对角线,借助菱形的判定定理或性质定定理解决问题.

  (1)作菱形的高

  (2)连结菱形的对角线

  4. 与正方形有关辅助线的作法

  正方形是一种完美的几何图形,它既是轴对称图形,又是中心对称图形,有关正方形的试题较多.解决正 方形的问题有时需要作辅助线,作正方形对角线是解决正方形问题的常用辅助线

  5. 与梯形有关的辅助线的作法

  和梯形有关的辅助线的作法是较多的.主要涉及以下几种类型:

  (1)作一腰的平行线构造平行四边形和特殊三角形

  (2)作梯形的高,构造矩形和直角三角形

  (3)作一对角线的平行线,构造直角三角形和平行四边形

  (4)延长两腰构成三角形

  (5)作两腰的平行线等

  三、圆中常见辅助线的添加

  1. 遇到弦时(解决有关弦的问题时)

  常常添加弦心距,或者作垂直于弦的半径(或直径)或再连结过弦的端点的半径。

  作用:

  ① 利用垂径定理

  ② 利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系

  ③ 利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形,根据勾股定理求有关量

  2. 遇到有直径时,常常添加(画)直径所对的圆周角

  作用:利用圆周角的性质得到直角或直角三角形

  3. 遇到90度的圆周角时 ,常常连结两条弦没有公共点的另一端点

  作用:利用圆周角的性质,可得到直径

  4. 遇到弦时,常常连结圆心和弦的两个端点,构成等腰三角形,还可连结圆周上一点和弦的两个端点

  作用: ①可得等腰三角形

  ②据圆周角的性质可得相等的圆周角

  5. 遇到有切线时,常常添加过切点的半径(连结圆心和切点)

  作用:利用切线的性质定理可得OA⊥AB,得到直角或直角三角形

  常常添加连结圆上一点和切点

  作用:可构成弦切角,从而利用弦切角定理。

  6. 遇到证明某一直线是圆的切线时

  (1) 若直线和圆的公共点还未确定,则常过圆心作直线的垂线段。

  作用:若OA=r,则l为切线

  (2) 若直线过圆上的某一点,则连结这点和圆心(即作半径)

  作用:只需证OA⊥l,则l为切线

  (3) 有遇到圆上或圆外一点作圆的切线

  7. 遇到两相交切线时(切线长)

  常常连结切点和圆心、连结圆心和圆外的一点、连结两切点

  作用:据切线长及其它性质,可得到

  ① 角、线段的等量关系

  ② 垂直关系

  ③ 全等、相似三角形

  8. 遇到三角形的内切圆时

  连结内心到各三角形顶点,或过内心作三角形各边的垂线段

  作用:利用内心的性质,可得

  ① 内心到三角形三个顶点的连线是三角形的角平分线

  ② 内心到三角形三条边的距离相等

  9. 遇到三角形的外接圆时,连结外心和各顶点

  作用:外心到三角形各顶点的距离相等

  10. 遇到两圆外离时(解决有关两圆的外、内公切线的问题)

  常常作出过切点的半径、连心线、平移公切线,或平移连心线

  作用: ①利用切线的性质; ②利用解直角三角形的有关知识

  11. 遇到两圆相交时 常常作公共弦、两圆连心线、连结交点和圆心等

  作用: ① 利用连心线的性质、解直角三角形有关知识

  ② 利用圆内接四边形的性质

  ③ 利用两圆公共的圆周的性质

  ④ 垂径定理

  12.遇到两圆相切时

  常常作连心线、公切线

  作用: ① 利用连心线性质

  ② 切线性质等

  13. 遇到三个圆两两外切时

  常常作每两个圆的连心线

  作用:可利用连心线性质

  14. 遇到四边形对角互补或两个三角形同底并在底的同向且有相等“顶角”时

  常常添加辅助圆

  作用:以便利用圆的性质

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