04 由中点想到的辅助线
(1)中线把三角形面积等分
如图,ΔABC中,AD是中线,延长AD到E,使DE=AD,DF是ΔDCE的中线。已知ΔABC的面积为2,求:ΔCDF的面积。
分析:利用中线分等底和同高得面积关系。
(2)中点联中点得中位线
如图,在四边形ABCD中,AB=CD,E、F分别是BC、AD的中点,BA、CD的延长线分别交EF的延长线G、H。求证:∠BGE=∠CHE。
分析:联BD取中点联接联接,通过中位线得平行传递角度。
(3)倍长中线
如图,已知ΔABC中,AB=5,AC=3,连BC上的中线AD=2,求BC的长。
分析:倍长中线得到全等易得。
(4)RtΔ斜边中线
如图,已知梯形ABCD中,AB//DC,AC⊥BC,AD⊥BD,求证:AC=BD。
分析:取AB中点得RTΔ斜边中线得到等量关系。
05 由全等三角形想到的辅助线
(1)倍长过中点得线段
已知,如图△ABC中,AB=5,AC=3,则中线AD的取值范围是。
分析:利用倍长中线做。
(2)截长补短
如图,在四边形ABCD中,BC>BA,AD=CD,BD平分 ,求证:∠A+∠C=180
分析:在角上截取相同的线段得到全等。
(3)平移变换
如图,在△ABC的边上取两点D、E,且BD=CE,求证:AB+AC>AD+AE
分析:将△ACE平移使EC与BD重合。
(4)旋转
正方形ABCD中,E为BC上的一点,F为CD上的一点,BE+DF=EF,求∠EAF的度数
分析:将△ADF旋转使AD与AB重合。全等得证。
06由梯形想到的辅助线
(1)平移一腰
所示,在直角梯形ABCD中,∠A=90°,AB∥DC,AD=15,AB=16,BC=17. 求CD的长。
分析:利用平移一腰把梯形分割成三角形和平行四边形。
(2)平移两腰
如图,在梯形ABCD中,AD//BC,∠B+∠C=90°,AD=1,BC=3,E、F分别是AD、BC的中点,连接EF,求EF的长。
分析:利用平移两腰把梯形底角放在一个三角形内。
(3)平移对角线
已知:梯形ABCD中,AD//BC,AD=1,BC=4,BD=3,AC=4,求梯形ABCD的面积。
分析:通过平移梯形一对角线构造直角三角形求解。
(4)作双高
在梯形ABCD中,AD为上底,AB>CD,求证:BD>AC。
分析:作梯形双高利用勾股定理和三角形边边边的关系可得。
(5)作中位线
①如图,在梯形ABCD中,AD//BC,E、F分别是BD、AC的中点,求证:EF//AD
分析:联DF并延长,利用全等即得中位线。
②在梯形ABCD中,AD∥BC, ∠BAD=90°,E是DC上的中点,连接AE和BE,求∠AEB=2∠CBE。
分析:在梯形中出现一腰上的中点时,过这点构造出两个全等的三角形达到解题的目的。
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